StiuCum - home - informatii financiare, management economic - ghid finanaciar, contabilitatea firmei
Solutii la indemana pentru succesul afacerii tale - Iti merge bine compania?
 
Management strategic - managementul carierei Solutii de marketing Oferte economice, piata economica Piete financiare - teorii financiare Drept si legislatie Contabilitate PFA , de gestiune Glosar de termeni economici, financiari, juridici


Castiga timp, fa bani - si creste spre succes
finante FINANTE

Finante publice, legislatie fiscala, contabilitate, informatii fiscale, asistenta contribuabili, transparenta institutionala, formulare fiscale din domaniul finantelor publice si private (Declaratii fiscale · Fise fiscale · Situatii financiare · Raportari anuale)

StiuCum Home » FINANTE » finante generale

Modelul de regresie

Modelul de regresie

OBIECTIVE: introducerea studentilor in sfera si notiunile specifice

modelului de regresie,


PREZENTARE SINTETICA:



Specificarea unui model de regresie


Un studiu econometric incepe cu o serie de presupuneri teoretice despre anumite aspecte ale economiei.

Investigatiile 636c25g empirice furnizeaza estimatori pentru parametri necunoscuti ai modelului.

Keynes:            C=f(x)

Suma cheltuita pentru consum depinde de:

marimea venitului pe de o parte

alte obiective in functie de circumstante (de exemplu investitiile)

alte nevoi subiective

Legea psihologica fundamentala: "o persoana este dispusa de regula si in medie sa isi creasca consumul pe masura cresterii venitului dar nu in aceeasi masura"

un nivel absolut mai mare al venitului va tinde de regula sa mareasca diferenta intre venit si consum:

Presupunerea cea mai simpla: C=a bX, 0<b<1 este o relatie determinista neadecvata.

In model trebuie inclus si factorul aleator:

C=f(X,e

Modelul cel mai simplu:

C=a bX+e

Modelul general ce trebuie estimat are forma:

yi =a bxi + ei, i=1,n

unde:    - xi este nestochastic (situatie experimentala)

- analistul alege valorile regresiei xi si apoi observa yi


Valoarea parametrului b arata modificarea proportionala a variabilei efect (Y) la modificarea cu o unitate a variabilei cauza (X).

Valoarea parametrului a arata punctul in care linia intercepteaza (taie) axa OY

ei reprezinta componenta reziduala (eroarea aleatoare) pentru fiecare unitate, adica partea din valoarea variabilei Y care nu poate fi masurata prin relatia sistematica existenta cu variabila X.

Modelul liniar unifactorial y=1+0,5x

Modelul probabilistic contine:

a) componenta deterministica, adica partea din valoarea lui Yi care poate fi determinata cunoscand valoarea Xi (a + bXi = Yi')

b) componenta reziduala care nu poate fi determinata cunoscand valoarea individuala Xi (ei)

Atunci,

Yi = a + bXi + ei

Yi = componenta predictibila (detrministica) + eroarea aleatoare

Yi = Yi' + ei


Daca datele disponibile provin dintr-un esantion avem la dispozitie n perechi de observatii (x1, y1), (x2,y2), (xn, yn), pe care le vom folosi pentru estimarea parametrilor ecuatiei de regresie liniara simpla, a si b

Modelul de regresie liniara in esantion este   yi = a + bxi + ei

cu componenta predictibila:

a si b sunt estimatorii punctului de interceptie (a) si pantei liniei drepte (b), obtinuti pe esantion

ei este valoarea reziduala (pentru unitatea i) in esantion:

ei = yi - (a + bxi)

Abaterea ei de la linia de regresie


Ipotezele modelului de regresie liniara


Pentru a obtine proprietatile dorite ale estimatorilor regresiei, se fac, de obicei, cinci presupuneri (ipoteze) standard pentru modelul din populatia ge­nerala:

Ipotezele ce trebuie verificate:

Forma functionala: yi =a bxi + ei, i=1,n

Normalitatea erorilor: ei N(0,s

Media zero a erorilor: μ(ei i

Homoscedasticitatea: σ2ei s constanta i

Non autocorelarea erorilor: Cov(ei ej i¹j

Necorelarea intre regresor si erori: Cov(xi,ej i si j


Ipoteza 1: Forma functionala

a.       y=a+bx

a.       y=a+bz, z=ex

b.      y=a+br, r=1/x

c.       y=a+bq, q=ln(x)


Fig. - Modele ce pot fi linearizate


Sau y=Axb Þ ln(y)=a bln(x)

Forma generala: f(yi)= a bg(xi)+ei

Contra exemplu: nu poate fi transformat in model liniar.

Erorile

Ipoteza de linearitate a modelului include si aditivitatea erorilor.

Forma modelului:

y = a bx + e,

De exemplu modelul se transforma prin logaritmare in modelul liniar: ln(y)=ln(A)+bln(x)+e

Insa modelul nu mai poate fi transformat in model liniar.

Daca ipoteza de linearitate este verificata, variabila dependenta observata este suma a doua elemente:

- un termen nestochastic: a bx

- o variabila aleatoare


Ipoteza 2: normalitatea erorilor

Se presupune ca variabila aleatoare ei este normal distribuita :


Distributia de probabilitate pentru ei


Ipoteza 3: media erorilor este zero: μ(ei i

Este naturala atata timp cat e este vazuta ca suma efectelor individuale, cu semne diferite.

Daca media erorilor este diferita de zero, ea poate fi considerata ca o parte sistematica a regresiei:

e m Þ a bx + e a m bx + (e m

media erorilor este acum nula.

Aceasta presupunere indica faptul ca media valorilor Y, conditionat de X, m (Y/X = Xi) = a bXi, adica nu exista variabile omise asociate cu regresia in populatie.


Ipoteza 4 (de homoscedasticitate): Var(ei s constanta i

Dispersia re­ziduurilor in populatie este constanta peste toate valorile Xi




a) constanta b) constanta

Dispersia reziduurilor a) constanta; b) constanta

Discutie:

Profiturile firmelor mari vor varia mult mai mult ca profiturile firmelor mici.

variatia cheltuielilor gospodariilor in functie de venit sau de marimea lor poate fi diferita.

Ipoteza 5: Non autocorelarea erorilor: μ(eiej i¹j

Aceasta ipoteza nu implica faptul ca yi si yj sunt necorelate, ci faptul ca deviatiile observatiilor de la valorile lor asteptate sunt necorelate.

Variabilele aleatoare ei sunt statistic independente una de alta, adica = 0, pentru i ¹ j. Acest lucru inseamna ca eroarea asociata cu o valoare a variabilei Y nu are nici un efect asupra erorilor asociate cu alte valori ale lui Y;

nu exista deci corelatie intre reziduuri;

OBSERVATIE: De asemenea este convenabil a considera ca erorile sunt independente si normal distribuite cu medie zero si variatie constanta pentru obtinerea de rezultate statistice exacte.

Estimarea parametrilor modelului de regresie clasic

Parametrii necunoscuti ai reactiei stochastice sunt cei ce trebuie estimati:

yi =a bxi + ei, i=1,n

Modelul estimat va fi scris:

Eroarea asociata unui punct i este:

ei = yi - a bxi

Pentru orice valori estimate a si b, erorile estimate vor fi:

ei = yi - a - bxi

Pentru estimarea parametrilor a si b pe baza datelor observate, un criteriu natural este cel de maximizare a potrivirii modelului cu datele observate, deci de minimizare a erorilor observate:

Conditiile de ordin 1 de minimizare a functiei sunt:

Þ



Ramane de verificat daca este verificata conditia de ordin 2, adica solutia gasita este un punct de minim. Matricea derivatelor partiale de ordin doi trebuie sa fie pozitiv definita:



Deci matricea este pozitiv definita.


Modelul de regresie clasic



Evaluarea validitatii modelului de regresie clasic


Estimatorii a (interceptia) si b (panta) ai parametrilor a si b sunt dati de :




Se observa ca obtinem din ecuatia:       

impartind prin n :

si, inlocuind in ecuatia : 



pe xi cu deviatia obtinem:


Cum primul termen situat in partea stanga a ecuatiei este egal cu zero, rezulta:


si in final:


Estimatorul a (interceptia) poate lua valori negative sau pozitive.

Estimatorul b (panta liniei drepte) numit si coeficient de regresie are intotdeauna semnul indica­torului sxy,

sxy  este covarianta intre x si y.


 


Linii de regresie cu a) panta pozitiva         b) panta negativa c) panta egala cu zero



In evaluarea validitatii modelului se verifica daca variatia lui x este un bun predictor pentru variatia lui y.

Doi indicatori alternativi pot fi utilizati pentru a masura calitatea ajustarii pentru regresia statistica :

Abaterea medie patratica (eroarea standard) a reziduurilor (masura absoluta a calitatii ajustarii pe baza regresiei in esantion)

Coeficientul de determinatie (indicator relativ).

Este necesar sa analizam componentele indicato­rilor de variatie a lui y.

In aplicarea metodei regresiei, sunt asociate varia­bilei dependente y doua medii:

media totala () si

media conditionata (

variatia (abaterea) totala () poate fi impartita in :

abaterea neexplicata de model () si

abaterea explicata (), astfel:



Abaterea () nu poate fi explicata de linia de regresie, deoarece atunci cand xi se modifica, ambele valori yi si se modifica;

abaterea ) poate fi explicata, deoarece cand xi se schimba, ramane constant



Abaterea valorilor individuale yi de la medie



Prin ridicarea la patrat a fiecarei abateri si insumarea pentru toate obser­vatiile, obtinem:


Putem nota:


= varianta totala, suma patratelor abaterilor totale.

= varianta neexplicata, suma patratelor erorilor.

= varianta explicata, suma patratelor abaterilor dato­rate regresiei.


Vom avea, atunci:        


se mai noteaza:


Variatia variabilei dependente y este definita in termeni de deviatie de la valoarea ei medie:


Deci:    SST = SSR + SSE


Variatia totala   = Variatia de regresie + Variatia reziduala


Putem calcula si discuta cei doi indicatori ai calitatii ajustarii astfel :


tabelul ANOVA este pentru testarea calitatii ajustarii

Tabelul ANOVA

Sursa variatiei

Suma patratelor

Grade de libertate

Media patratelor (dispersia corectata)





Datorata regresiei

Reziduala

k


n - k - 1

Totala

n - 1

Unde:

k reprezinta numarul variabilelor independente luate in consideratie (pentru regresia liniara simpla, k = 1).

Daca se impart variantele la (n - 1), avem:

relatie care poate fi scrisa ca

deoarece:



abaterea medie patratica a erorilor in esantion este:

unde este un estimator nedeplasat al dispersiei reziduurilor . o marime relativa a calitatii ajustarii, prin exprimarea ponderilor dispersiilor (explicata si rezi­duala) in dispersia totala este:


Coeficientul de determinatie este:

Raportul reprezinta proportia variatiei totala care este explicata de linia de regresie.


Sau se poate scrie


Coeficientul de determinare ca proportia variatiei explicata de modelul de regresie in variatia totala:

R2 = 0 daca b=0, , deci daca ecuatia de regresie este o dreapta orizontala. In acest caz variabila x nu are putere explicativa.

R2 = 1 daca punctele determinate de observatiile facute asupra variabilelor x si y se afla toate pe o dreapta, caz in care erorile vor fi zero.

In cazul in care toate valorile lui y se afla pe o dreapta verticala, R2 nu are nici o semnificatie si nu poate fi calculat.


Asadar, R2 reprezinta masura in care variabila inde­pendenta, X, explica variatia variabilei rezultative Y.

Coeficientul de determinatie nu este ajustat cu gradele de libertate. Daca utilizam estimatorii nedeplasati si , obtinem valoarea ajustata a coeficientului de determinatie


Valoarea lui este intotdeauna mai mica decat valoarea lui R2.


Observatii:

R2 poate fi interpretat ca procentul variatiei lui y explicata de variatia veriabilei x doar pentru cazul in care metoda celor mai mici patrate este aplicata modelului liniar de regresie.

Pentru orice model coeficientul R2 poate fi calculat ca:

unde



Probleme rezolvate



Exemplu : Modelul de regresie clasic

I. Estimarea parametrilor

Ecuatiile normale pentru exemplul din primul paragraf privind consumul si veniturile sunt:


Deci:

C = -67,58 + 0,98 V


Interpretare:

1. La o variatie a venitului cu o unitate monetara, consumul va varia in aceeasi directie cu 0,98 unitati monetare.

2. Termenul liber se interpreteaza in general ca nivelul variabilei dependente pentru cazul in care variabila independenta este zero. In cazul exemplificat, valoarea termenului liber este negativa, iar consumul nu poate fi negativ, deci singura interpretare ce poate fi data este ca va avea loc a consumul de la un nivel al venitului de: 67,58/0,98=69.


II. Determinarea coeficientului de determinare

Pentru exemplul anterior se mai cunosc:

Scc=64972,12; Sxx=67192,44; Sxc=65799,34


SST = Scc = 64972,12

SSR = b2Sxx = 0,979267*67192,44 = 64435,12

SSE = SST-SSR = 64972,12 - 64435,12 = 537


Deci: R2 = SSR/SST = 64435,13/64972,12 = 0,99173


Interpretare:

1. 99,17% din variatia consumului este datorata variatiei venitului.

2. 99,17% din variatia consumului este explicata de modelul de regresie.


III. Testarea coeficientului de determinare

Tabelul ANOVA

Sursa variatiei

Masura variatiei

Numarul gradelor de libertate

Suma patratelor

Variatia de regresie

64435,12

1

64435,12

Variatia reziduala

537

8

67,124

Variatia totala

64972,12

9

7219,12


Fcalc = 64435,12/67,124 = 959,94

F0,95;1,8 = 5,32

Fcalc > F0,95;1,8 deci R2 este reprezentativ.





Politica de confidentialitate



Copyright © 2010- 2024 : Stiucum - Toate Drepturile rezervate.
Reproducerea partiala sau integrala a materialelor de pe acest site este interzisa.

Termeni si conditii - Confidentialitatea datelor - Contact

Despre finante generale



lupa cautareCAUTA IN SITE