Modelul dinamic al consumatorului cu piata monetara

Modelul dinamic al consumatorului cu piata monetara

Problema se analizeaza doar pentru doua situatii, toate celelalte putand fi deduse relativ usor din acestea:

a)     cazul in care utilitatea depinde de doua consumuri consecutive;

b)     cazul in care utilitatea depinde de consumurile pe o perioada nelimi 616e44g tata.

1.   Cazul in care utilitatea depinde de doua consumuri consecutive

Ne vom raporta pentru comoditatea calculelor la momentele , si vom nota:

. C₀, C₁ reprezinta consumurile la momentul , respectiv ;

. V₀, V₁ reprezinta veniturile la momentul , respectiv ;

. d reprezinta dobanda practicata in intervalul de timp [0,1];

. 1 + d reprezinta factorul de capitalizate.

In acest caz functia de utilitate U depinde doar de variabilele C₀ si C₁ deci avem . Vom fi condusi la o problema de maximizare a utilitatii consumurilor in care restrictiile sunt date de ecuatia venitului la momentul , respectiv ecuatia consumului la momentul :

(P)    

Prima restrictie a problemei (P) reprezinta ecuatia venitului la momentul , iar cea de-a doua restrictie reprezinta consumului la momentul .

S-a notat cu E₀ economia de bunuri realizate la momentul pentru a fi consumata la momentul ; p₀ si p₁ reprezinta preturile unitare corespunzatoare momentelor si .

Avand in vedere forma restrictiilor problemei (P), dupa eliminarea marimii E₀ vom fi condusi la problema de optimizare echivalenta:

(P₁)       

Ca si in cazul modelului static problema poate fi rezolvata utilizand metoda multiplicatorului lui Lagrange, variabilele curente fiind C₀, C₁.

Functia lui Lagrange admite in acest caz urmatoarea reprezentare analitica:

Vom pune conditiile de optim de ordinul 1 (adica vom preciza conditiile de obtinere a punctelor stationare pentru functia lui Lagrange):

,         de unde (2.17)

Ca si in cazul modelului static rezolvarea completa a problemei (P) presupune cunoasterea precisa a functiei de utilitate U. In lipsa acestei informatii, din primele doua egalitati ale ultimului sistem se poate deduce o relatie asemanatoare cu cea obtinuta in cazul modelului static:

Ultima fractie reprezinta raportul dintre utilitatea marginala in raport cu consumul la momentul si valoarea capitalizata la momentul a pretului la momentul .

Prima fractie reprezinta raportul dintre utilitatea marginala corespunzatoare consumului la momentul si pretul actualizat la acest moment.

Pentru rezolvarea sistemului (2.17), observam mai intai ca are loc relatia:

,

de unde se va obtine egalitatea urmatoare:

.

Se observa ca solutia optima a problemei (P) coincide cu solutia unica a sistemului (2.17) si dupa un calcul imediat rezulta ca solutia optima cautata este solutia sistemului urmator:

,

iar pretul "umbra" optim este urmatorul:

.

Caz particular  

Practic vom rezolva problema (P) pentru o functie de utilitate de tip Cobb-Douglas: .

Rezolvand problema (P) in acest caz particular, in urma solutionarii sistemului (2.17) se obtin imediat consumurile optime:

Observatia 2.1. Cele doua paranteze care apar in exprimarile lui si reprezinta de fapt veniturile maxime pe care le poate realiza consumatorul la momentul si .