Reprezentari grafice - statistica

Reprezentarea grafica a unei serii ne da o imagine geometrica (in plan sau spatiu) cu privire la forma statica sau evolutia dinamica a fenomenului cuantificat de seria respectiva.

Graficul asociat unei serii constituie o imagine spatiala a fenomenului de cercetat, permitand evidentierea rapida a structurii, dinamicii si tendintei de dezvoltare a acestuia. Reprezentarile grafice sunt folosite atat in scopul cunoasterii populatiei in cauza, cat si pentru popularizarea unor rezultate din d 747h71h iverse domenii de activitate.

Elaborarea completa si corecta in acelasi timp a unui grafic presupune elucidarea urmatoarelor elemente: titlul graficului, scara de reprezentare, reteaua graficului, semnele conventional si notele.

Titlul graficului trebuie sa fie scurt, clar si semnificativ pentru continutul fenomenului reliefat prin seria considerata.

In cele mai frecvente cazuri un grafic se traseaza intr-un sistera de axe rectangulare xOy. Pe fiecare din cele doua axe se reprezinta valorile variabilelor X, respectiv Y, un astfel de punct marcat se mai numeste punct cotat. Scara de reprezentare reuneste multimea tuturor punctelor cotate. In cazul in care variabila inregistreaza valori mici, gradarea scarii incepe in principiu de la zero, daca variabila inregistreaza valori mari se considera o alta origine stabilita cu aproximatie. Pentru a nu incarca prea mult desenul, se recomanda reprezentarea pe scara doar a valorilor dispuse la un anumit interval convenabil ales. Distantele dintre doua puncte cotate consecutive se numeste intervalul graficului. Cand intervalele sunt egale atunci avem scari uniforme, in caz contrar avem scari neuniforme.

Scara aritmetica este o scara uniforma in timp ce scara logaritmica sau cea binomiala constituie exemple de scari neuniforme.

Reteaua graficului permite identificarea cu usurinta in plan sau in spatiu a punctelor corespunzatoare valorilor inregistrate de variabilele in cauza. Sistemul axelor rectangulare (in plan sau spatiu) constituie cele mai uzuale repere in reprezentarea grafica a seriilor statistice.

Semnele conventionale se pot materializa intr-o reprezentare grafica fie prin inscriptii, fie printr-o legenda.

Inscriptia trebuie sa fie scurta si semnificativa si plasata cat mai bine in raport cu elementul din grafic pe care il expliciteaza.

Legenda se foloseste pentru a explicita folosirea semnelor, culorilor sau diverselor hasururi folosite in graficul in cauza. Legenda se plaseaza inafara graficului, in coltul din stanga sau dreapta jos.

In cazul graficelor complexe, pentru o intelegere mai buna, sunt necesare unele explicatii, care se dau sub forma de note. Notele generale privesc in ansamblu graficul si se plaseaza chiar sub titlul graficului. Notele speciale privesc portiuni din grafic si sunt legate de acestea prin diverse semne de trimitere. Notele se plaseaza in partea de jos a diagramei, in coltul din stanga sub retea.

In continuare se vor prezenta principalele tehnici de construire a graficelor utilizate in reprezentarea seriilor statistice ce descriu fenomenele social-economice.

Histograma

Graficul specific seriilor care au la baza o variabila continue (de intervale) este histograma. Aceasta se construieste intr-un sistem de axe rectangulare dupa cum urmeaza: pe abscisa se trec intervalele de variable, iar pe ordonata se traseaza scara frecventelor. Scara frecventelor se construieste in conformitate cu respectarea principiului proportionalitalii intre frecvente si segmentele delimitate pe scara ordonatelor. Pentru fiecare interval de variajie a seriei (Xi-1 - Xi) se construieste un dreptunghi a carui baza este chiar lungimea intervalului, iar cealalta latura se determina din conditia proportional itatii ariei dreptunghiului cu marimea indicatorului in clasa respectiva.

Latura necunoscuta a dreptunghiului, notata cu L, se determina din

urmatoarea relatie:

L_i*l_{i =} k * N_i

1_i= latura cunoscuta a dreptunghiului corespunzator intervalului (Xi-1 - Xi) ;

L_i= latura necunoscuta a dreptunghiului corespunzator intervalului (Xi-1 - Xi)

N_i= frecventa absolute a clasei i;

k un coeficient de proporponalitate care se alege in raport cu scara dereprezentare.

Din relatia (2.2) se deduce L_i :

L_i = k i =

unde: l_i = x_i- x_i-1 adica diferenta dintre limita superioara si cea inferioara a intervalului de variatie.

Multimea tuturor dreptunghiurilor astfel determinate, formeaza histograma atasata seriei.

Poligonul frecventelor

Este o reprezentare grafica a seriilor statistice avand la baza o variabila atributiva cantitativa continua si formata cu frecvente absolute sau relative, simple sau cumulate.

Trasarea acesteia presupune realizarea in prealabil a histogramei. Poligonul frecventelor se obtine unind prin segmente de dreapta mijloacele laturilor superioare ale dreptunghiurilor, din care este alcatuita histograma.

Poligonul frecventelor poate fi construit si direct, fara intermediul histogramei. Aceasta presupune ridicarea de perpendiculare din mijlocul fiecarui interval de variatie, a caror lungimi(inaltimi) sunt proportionale cu frecventele intervalelor corespondente. Unind prin segmente de dreapta varfurile acestor perpendiculare, se obtine graficul dorit.

Graficul produce o imagine a functiei densitate de probabilitate empirice (in cazul utilizarii frecventelor simple), sau a functiei de repartitie empirica (in cazul utilizarii frecventelor cumulate).

Poligonul frecventelor este un grafic important pentru aproximarea formei distributiei populatiei studiate, cat si pentru compararea a doua distributii pe aceeasi diagrama.

Diagramele de structura

Punerea in evidenta sub forma grafica a structurii unei populatii statistice este posibila apeland la diagramele de structura. In acest sens se prezinta: dreptunghiul, patratul, cercul si semicercul de structura. Aceste tipuri de grafice permit reprezentarea grafica a seriilor unidimensionale construite cu marimi de structura( frecvente relative, greutate specifica).

Cel mai des folosit este cercul de structura denumit si diagrama sectoriala (piechart).

Cercul de structura

Se construieste un cerc de raza oarecare a carei suprafata se considera ca reprezinta volumul intregii populatii in cauza (exprimat in frecvente absolute sau relative).

Fiecare clasa in care este divizata populatia supusa studiului este reprezentata printr-un sector de cerc de arie direct proportionala cu volumul clasei. Trasarea sectorului de cere presupune determinarea masurii in grade a unghiurilor la centru a fiecarui sector. Unghiul la centru de 360° corespunde volumului intregii populatii. Unghiurile sectoarelor de cere care reprezinta clase din populatie trebuie sa fie proportionale cu volumul acestora (exprimat in frecvente absolute sau relative). Unui procent ii corespunde 3,6° cu procentul corespunzator clasei respective.

Exemplu

Din Anuarul Statistic al Romaniei din anul 2000 am extras seria care urmeaza, redand distributia voturilor electoratului pentru Senat (dupa redistributie) la alegerile din 3 noiembrie 1996:

Sa se realizeze cercul de structura in acest caz.

Semicercul de structura

Constructia acestuia este asemanatoare cu a cercului de structura, cu a cercului de structura, cu deosebirea ca volumul populatiei cercetate este reprezentat printr-un semicerc de 180°, cu respectarea aceluiasi principiu conform caruia unghiurile la centru corespunzatoare sectorului prin care se reprezinta clasele trebuie sa fie proportionale cu indicatorii care le reprezinta. In acest caz, unui procent ii corespunde 1,8°, unghiurile la centru corespunzatoare sectoarelor se vor determina inmultind 1,8° cu procentele corespunzatoare claselor respective.

Diagrama prin benzi (barchart)

Acest tip de grafic utilizeaza benzile (barele), pentru a reprezenta distributia unei populatii in raport cu o variabila cantitativa discreta sau calitativa. Benzile au aceeasi latime (baza), iar lungimea (inaltimea) lor este direct proportionala. cu frecventa clasei reprezentate. Numarul benzilor este egal cu numarul claselor in care este impartita populatia studiata. De asemenea se pot lua in considerare o variabila sau doua.

In reprezentari se utilizeaza benzi simple sau benzi grupate. Pozitia benzilor poate fi orizontala sau verticala.

Exemplu

Din Anuarul Statistic al Romaniei din anul 2000 am extras seria care urmeaza, redand nivelul PNB/loc in S calculat pe baza puterii de cumparare in Romania si alte tari est-europene

Cartograma si cartodiagrama

Aceste tipuri de grafice se folosesc frecvent pentru reprezentarea grafica a seriilor statistice de spatiu.

Realizarea unei cartograme sau a unei cartodiagrame presupune conturarea spatiului (sub forma de harta) in interiorul caruia se manifesta fenomenul care este cuantificat de seria de reprezentat. in interiorul hartii astfel realizata, prin diverse culori sau nuante ale aceleiasi culori, prin hasururi sau prin diferite diagrame, este evidentiata intensitatea dezvoltarii fenomenulut cercetat precum si marimea indicatorilor seriei.

Cartograma in culori sau nuante ale aceleiasi culori se utilizeaza pentru redarea intensitatii manifestarii unui fenomen. Acest tip de grafic este recomandat in special atunci cand intensitatea fenomenului surprins de seria de spatiu nu prezinta o variabila prea mare pentru a nu apela la prea multe culori sau nuante ale acestora, care sa ingreuneze citirea graficului.

Cand realizarea unei cartograme in culori este prea costisitoare sau culori le si nuantele sunt greu de reprodus este utilizata cartograma prin hasuri. Si in acest caz densitatea hasurilor trebuie sa redea diferente de intensitate a fenomenului in spatiu surprins de seria de reprezentat. Dupa ce harta a fost desenata si impartita in conformitate cu starile variabilei de spatii, ce sta la baza seriei, in interiorul fiecarei subdiviziuni se utilizeaza hasuri a caror intensitate sa fie proportionala cu intensitatea fenomenului cuantificat de indicatorul cu care s-a construit seria.

Cartodiagrama constitute o modalitate de reprezentare grafica a seriilor de spatiu, realizandu-se ca o imbinare intre cartograma si diferite alte tipuri de diagrame, ca de exemplu diagrame prin benzi, cerc , patrat, dreptunghi etc. De exemplu, pentru a reprezenta o serie de spatiu ce exprima volumul investitiilor straine pe judete, la noi in tara, se procedeaza astfel: in primul rand se deseneaza harta Romaniei, delimitandu-se judetele; in cadrul fiecarui judej se deseneaza o figura geometrica oarecare convenabil aleasa, a carei arie sau marime sa fie direct proportionala cu volumul investitiilor straine din judetul respectiv.

Si acest tip de reprezentare grafica isi are o larga aplicabilitate in special in urmarirea acelor fenomene de natura economica sau sociala care sunt urmarite in spatiu.